Иванова Елена Александровна Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Альтернативные модели теплопроводности и внутреннего трения

В механике сплошных сред температура считается величиной, измеряемой термометром, и какая-либо механическая интерпретация температуры отсутствует. В кинетической теории и статистической физике температура считается средней кинетической энергией хаотического движения молекул. Концепция теплового движения не противоречит континуальной механике. Однако, эту механическую модель крайне проблематично использовать для вывода уравнений механики сплошных сред, так как хаотическое движение молекул в механике сплошных сред не учитывается, а температура связывается с внутренней энергией. Наша цель заключается в том, чтобы предложить механическую интерпретацию температуры, которая могла бы стать основой для описания тепловых процессов в рамках механики сплошных сред и посредством методов механики сплошных сред. Основная идея состоит в том, чтобы ввести в рассмотрение континуум с внутренней структурой и дополнительными вращательными степенями свободы. Мы полагаем, что характеристики вращательных движений внутренней структуры и моментных взаимодействий, связанных с внутренней структурой, можно рассматривать как аналоги температуры и других термодинамических величин. Предложен новый подход к построению теории термовязкоупругости. В рамках этого подхода не используется ни гипотеза о затухающей памяти, ни реологические модели. Предлагаемый подход основан на использовании механической модели, представляющей собой континуум однороторных гиростатов. Показано, что математическое описание этой модели в частных случаях сводится к уравнениям связанной задачи термоупругости, к уравнению самодиффузии, а также к уравнению, описывающему течение вязкой несжимаемой жидкости. В рамках данной модели дана оригинальная трактовка физической сущности механизма теплопроводности и внутреннего трения. Показано, что зависимость коэффициента затухания акустических волн от частоты сигнала, полученная на основании предлагаемой теории, в низкочастотной области совпадает с классической зависимостью, а в области гиперзвуковых частот совпадает с зависимостью, полученной на основании фононной теории. Обсуждаются различные способы определения объемной и сдвиговой вязкостей и времени релаксации теплового потока, основанные на использовании известных значений скорости звука и коэффициента затухания акустических волн. Полученные значения времени релаксации теплового потока сравниваются со значениями, полученными на основании фононной теории.

Описание механизма теплопроводности и внутреннего трения посредством двухкомпонентного континуума Коссера

Для моделирования материальной среды используется континуум однороторных гиростатов. Однороторный гиростат — это сложная частица, состоящая из несущего тела и ротора (см. рисунок). Ротор может вращаться независимо от вращения несущего тела, но не может перемещаться относительно несущего тела. Для обяснения физического смысла предлагаемой модели проведем следующие рассуждения. При моделировании сред, обладающих совокупностью физических свойств, мы предлагаем рассматривать атомы как сложные частицы с внутренними вращательными степенями свободы (см. [3], [8]). Число роторов внутри частиц зависит от количества физических свойств вещества, которые необходимо принять во внимание. Чтобы учесть одно немеханическое свойство вещества (в данном случае, способность проводить тепло), достаточно одного внутреннего ротора. Поскольку классическая теория термоупругости является безмоментной, на первый взгляд может показаться, что континуум однороторных гиростатов — слишком сложная модель, и вместо него можно использовать континуум Коссера. Однако наша цель заключается в том, чтобы предложить механическую модель тепловых процессов, которую можно использовать в любых континуальных моделях, в том числе и в тех случаях, когда при описании механических процессов важно учитывать моментные взаимодействия. Одна из таких моделей — модель термоупругой оболочки (см. [6]). Поскольку мы используем континуальное описание, необходимо прояснить взаимосвязь между континуальными и дискретными характеристиками кинематики среды. Вектор положения некоторой точки континуума определяет положение центра масс представительного объема, содержащего миллиарды атомов. Континуальные характеристики вращательных движений представляют собой величины, усредненные по всем атомам в представительном объеме.

Модель материала, обладающего упругими, вязкими и термодинамическими свойствами: a) представительный объем в сплошной среде; b) представительный объем в большем масштабе; c) однороторный гиростат.

Аналогия между механическими характеристиками, связанными с роторами, и термодинамическими величинами. Континуум однороторных гиростатов считается упругим. Взаимодействие несущих тел гиростатов отвечает за механические процессы. Взаимодействие роторов моделирует тепловые процессы. Взаимное влияние несущих тел и роторов обеспечивает взаимосвязь механических и тепловых процессов. В нашей модели шаровая часть тензора моментных напряжений, характеризующего взаимодействие роторов, — аналог температуры. Соответствующая угловая деформация — аналог плотности энтропии (энтропии, приходящейся на единицу объема). Температура и энтропия, введенные в рамках предложенной здесь модели, не совпадают по размерности с абсолютной температурой и энтропией классической термодинамики. Эта проблема решается посредством введения нормировочного коэффициента. В соответствии с указанной выше механической интерпретацией температуры и энтропии, уравнение теплопроводности выводится из уравнения баланса кинетического момента для роторов. Как следствие, из-за наличия инерционных членов в уравнении уравнении баланса кинетического момента, получается уравнение теплопроводности гиперболического типа. Предполагается, что частицы материи погружены в некоторую безграничную среду, которая представляет собой "физический вакуум", "поле", "эфир" или что-то подобное этому. Далее мы будем называть эту среду "тепловой эфир". На рисунке представлена двухкомпонентная среда. Одна компонента этой среды — континуум однороторных гиростатов; другая компонента — континуум, названный "тепловым эфиром". Мы не ставим перед собой цели исследования взаимного влияния сред, составляющих двухкомпонентный континуум. В качестве исследуемого объекта рассматривается среда, состоящая из гиростатов. "Тепловой эфир", находящийся в пространстве между гиростатами, является внешним фактором по отношению к изучаемой нами среде. Воздействие "теплового эфира" на гиростаты мы моделируем внешним моментом в уравнении движения роторов. Структура этого момента выбрана в соответствии с результатами решения модельных задач (см. [4], [5], [8]). Когда уравнение теплопроводности выводится из уравнения баланса кинетического момента для роторов, первые производные по времени в уравнении теплопроводности появляются именно благодаря наличию указанного внешнего момента в уравнении баланса.

При моделировании термоупругой среды континуумом однороторных гиростатов этот континуум считается хиральной средой. В соответствии с принятой выше аналогией между механическими и термодинамическими величинами, температура и энтропия представляют собой аксиальные скаляры (псевдоскаляры), в то время как в классической теории они являются полярными скалярами. В связи с этим возникает одна проблема. Согласно теории симметрии, если температура и энтропия считаются полярными скалярами, то в случае обычной изотропной среды тензор, характеризующий тепловое расширение, должен быть шаровым. Если температура и энтропия считаются аксиальными скалярами, то в соответствии с теорией симметрии тензор, характеризующий тепловое расширение, оказывается равным нулю. Следовательно, если считать среду, состоящую из гиростатов, изотропной в обычном смысле, возникнет противоречие с экспериментальными фактами. Разумеется, это неприемлемо. Решение проблемы заключается в следующем. Далее мы предполагаем, что среда является хиральной, по крайней мере, в отношении микроструктуры. Хиральная среда — это среда, локальные свойства которой неинвариантны относительно зеркальных отражений. Таким образом, группа симметрии хиральной изотропной среды содержит тензоры поворота на произвольный угол вокруг произвольных осей и не включает в себя никаких тензоров зеркального отражения. Свойство хиральности среды, как правило, обусловлено хиральностью образующих ее элементов. Обычно хиральные среды анизотропны. Однако существуют изотропные хиральные среды — это среды, состоящие из хиральных частиц. Для обоснования гипотезы о том, что континуум однороторных гиростатов, моделирующий термоупругую среду, может считаться хиральной средой, приведем следующие аргументы. Допустим, что гиростаты моделируют атомы. Тогда микроструктура континуума гиростатов в интегральном смысле отражает некоторые свойства внутренней структуры атомов. В этом случае гипотеза хиральности среды по отношению к микроструктуре не кажется странной. Действительно, атомы состоят из элементарных частиц, которые обладают спином, т.е. являются гиротропными, или, что то же самое, хиральными объектами. Кроме того, хорошо известны, например, оптически активные среды, которые по отношению к электромагнитным волнам ведут себя как хиральные среды, а по отношению к механическим воздействиям не проявляют свойств хиральности. Аналогичными свойствами обладает и рассматриваемая нами среда: она ведет себя как хиральная по отношению к тепловым процессам и как обычная изотропная по отношению к чисто механическим процессам. Если температура и энтропия считаются аксиальными скалярами, то в случае хиральной изотропной среды тензор, характеризующий тепловое расширение, является шаровым (см. [6]), что находится в полном соответствии с экспериментальными данными.

Примеры хиральный объектов в природе

Механизм теплового излучения. Многочисленные эксперименты показывают, что, например, у двухатомных молекул существуют спектры в далекой инфракрасной области (так называемые вращательные молекулярные спектры). Эти спектры состоят из серий равноотстоящих (приблизительно) линий. Обычно эти спектры считаются вращательным, что обусловлено квантово-механической моделью, объясняющей наличие данных спектров. Существование бесконечных спектров показывает, что молекулы нельзя рассматривать как системы с конечным числом степеней свободы. Например, двухатомная молекула не является системой с двенадцатью степенями свободы, как это было бы, если бы молекула представляла собой совокупность двух абсолютно твердых тел. Возникает кажущееся противоречие, поскольку представление о молекуле как устойчивой совокупности атомов, т.е. системе с конечным числом степеней свободы, является твердо установленным фактом. Как правило, это противоречие используется как аргумент в пользу того, что такую систему можно описать только с помощью квантово-механического подхода. Действительно, в рамках квантовой механики бесконечный спектр можно получить как следствие квантования вращательной энергии. Мы показываем, что указанное противоречие можно устранить в рамках классической механики, предположив, что взаимодействие между атомами в молекуле не является мгновенным, т.е. не описывается потенциалами, зависящими только от положений и ориентаций атомов в молекуле. Мы предполагаем, что взаимодействие атомов в молекуле определяется некоторым дифференциальным уравнением, которое можно трактовать как уравнение, описывающее "тепловой эфир". Фактически, мы моделируем молекулы дискретно-континуальными системами, которые, как известно, имеют бесконечные спектры. Таким образом, наш подход, основанный на концепции "теплового эфира" позволил в рамках классической механики описать молекулярные спектры, лежащие в инфракрасной области (см. [1]). Достигнуто хорошее совпадение теоретических результатов с данными экспериментальных измерений в инфракрасной спектральной области (см. таблицы).

Механизм теплопроводности и внутреннего трения. Роторы гиростатов взаимодействуют с "тепловым эфиром" посредством упругих моментов, связанных с вращательными степенями свободы. Мы считаем, что именно это взаимодействие между роторами и "тепловым эфиром" обеспечивает механизм теплопроводности в материальной среде. Движение роторов гиростатов приводит к возникновению волн в "тепловом эфире". В результате часть энергии материальных частиц передается соседним материальным частицам, а часть энергии диссипирует (расходуется на образование волн и уносится этими волнами). Мы считаем, что механизм внутреннего трения обусловлен диссипацией энергии материальной среды в "тепловой эфир". Это аналогично тому, что при движении твердого тела в жидкости потери энергии обусловлены тремя факторами: 1) трение между твердым телом и жидкостью; 2) образование вихрей в жидкости; 3) образование волн в жидкости, при этом наибольшие потери энергии связаны с образованием волн. Отличие заключается в том, что взаимодействие частиц материи с "тепловым эфиром" происходит по вращательным степеням свободы, а не по трансляционным, как в случае твердого тела и жидкости. Разумеется, мы не исключаем существования других механизмов внутреннего трения (в частности тех, которые рассматриваются в классической литературе по вязкоупругости). Мы развиваем оригинальный метод описания внутреннего трения. Наша модель дает возможность описать внутреннее трение, присущее даже тем материалам, которые обычно считаются не вязкими, например, идеальным кристаллам. Мы полагаем, что механизм внутреннего трения, присущий нашей модели, имеет физическую природу, отличную от физической природы внутреннего трения, моделируемого традиционными методами. Показано, что благодаря указанному механизму имеет место затухание акустических волн и часть механической энергии переходит в тепло — см. [8]. На основании этих фактов можно утверждать, что мы описываем некоторый вид внутреннего трения.

Для моделирования роторов гиростатов и частиц "теплового эфира" мы используем тела-точки специального вида. Несущие тела гиростата — это классические тела-точки, инерционные свойства которых аналогичны инерционным свойствам твердого тела. Роторы гиростатов, также как и частицы "теплового эфира", представляют собой тела-точки специального вида. Кинетическая энергия K, количество движения K₁ и собственный кинетический момент K₂ этих тел-точек выглядят так:

Тела-точки, используемые для моделирования роторов гиростатов и частиц "теплового эфира" имеют шаровые тензоры инерции. Важно отметить, что такие тела-точки отличаются от бесконечно малых твердых тел наличием дополнительного параметра B, который характеризует симметричную часть соответствующего тензора инерции. В случае бесконечно малого твердого тела этот параметр равен нулю, так как соответствующий тензор инерции является антисимметричным. Рассматриваемые тела-точки специального вида обладают свойством динамической связанности трансляционных и вращательных движений — см. [4]. Использование этих тел-точек предоставляет дополнительные возможности для учета взаимного влияния механических и термодинамических процессов. Поясним сказанное. Согласно квантовомеханическим представлениям, в твердых телах имеет место следующая зависимость коэффициента поглощения акустических волн γ от частоты сигнала ω. В области сравнительно низких частот γ пропорционален ω² (механизм поглощения Ахиезера), при частотах порядка 10¹⁰—10¹¹ Гц коэффициент поглощения акустических волн γ пропорционален ω (механизм поглощения Ландау-Румера), а при более высоких частотах γ стремится к константе. В классической теории термоупругости коэффициент поглощения акустических волн γ пропорционален ω² при всех частотах. Зависимость γ от частоты, полученная на основании теории термоупругости гиперболического типа, качественно совпадает с квантово-механическими представлениями. (Заметим, что теория термоупругости гиперболического типа содержит один дополнительный параметр по сравнению с классической теорией термоупругости — см. [7]. Этот параметр называется временем релаксации теплового потока.) Ни классическая теория термоупругости, ни теория термоупругости гиперболического типа, не позволяют достичь количественного совпадения между теоретическими и экспериментальными значениями γ. Предлагаемая теория термовязкоупругости, также как и теория термоупругости гиперболического типа, согласуется на качественном уровне с квантово-механической зависимостью (см. [8]). Кроме того, предлагаемая теории содержит дополнительные параметры, в том числе параметр B, выбор которых позволяет достичь количественного совпадения теоретических значений коэффициента поглощения звуковых волн и коэффициента поглощения поперечных волн с их экспериментальными значениями (см. [8]).

Предлагаемая теория термовязкоупругости

Квантово-механический подход

Заключение. Для описания тепловых процессов предложена оригинальная механическая модель, которая является альтернативой механической модели, принятой в кинетической теории и статистической физике. Разработано математическое описание предложенной модели в рамках линейной теории. Дальнейшее развитие теории предполагается вести по двум направлениям. Первое направление связано с учетом нелинейных эффектов в рамках той же механической модели, что необходимо для описания поведения вещества в состояниях, близких к фазовым переходам, а также процессов теплопроводности в условиях быстро меняющихся и сверхвысоких температур. Второе направление связано с модификацией механической модели путем учета дополнительных степеней свободы с целью введения в рассмотрение химического потенциала и ряда дополнительных физических характеристик среды. Это необходимо для описания фазовых переходов и химических реакций, а также для описания взаимодействия вещества с электромагнитным полем и, соответственно, термоэлектрических и термомагнитных эффектов.

Публикации

1. Ivanova E.A., Krivtsov A.M., Zhilin P.A. Description of rotational molecular spectra by means of an approach based on rational mechanics. ZAMM. Z. Angew. Math. Mech. 87 (2007) N 2. P. 139-149. (135 Kb)
2. Иванова Е.А. Об одном подходе к формулировке связанной задачи термоупругости, включающей уравнение теплопроводности гиперболического типа. Пятые Поляховские чтения. Избранные труды. СПб. Изд. ВВМ. 2009. С. 301-306. (376 Kb)
3. Ivanova E.A. Derivation of theory of thermoviscoelasticity by means of two-component medium. Acta Mechanica. 2010. Vol. 61, Issue 1. P. 261-286. (184 Kb)
4. Ivanova E.A. On one model of generalised continuum and its thermodynamical interpretation. Mechanics of generalized Continua (Ed. H. Altenbach, G.A. Maugin, V. Erofeev). Berlin: Springer, 2011. P. 151-174. (400 Kb)
5. Ivanova E.A. Derivation of theory of thermoviscoelasticity by means of two-component Cosserat continuum. Technische Mechanik. 2012. Vol. 32, Issue 2–5. P. 273–286. (128 Kb)
6. Иванова Е.А. Моделирование термоупругих процессов в трехмерных средах и оболочках посредством среды Коссера с микроструктурой. Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии. 2013. Т. 5. N 1. С. 98-110. (1374 Kb)
7. Babenkov M.B., Ivanova E.A. Analysis of the wave propagation processes in heat transfer problems of the hyperbolic type. Continuum Mech. Thermodyn. Published on-line: 11 August 2013. DOI 10.1007/s00161-013-0315-8. (824 Kb)
8. Ivanova E.A. Description of mechanism of thermal conduction and internal damping by means of two component Cosserat continuum. Acta Mechanica. Published on-line: 27 September 2013. DOI 10.1007/s00707-013-0934-y. (280 Kb)

Для просмотра PDF файлов можно загрузить бесплатную версию Adobe Acrobat Reader.

Инструкция для просмотра публикаций